AMM 的一般理論：恆定乘積以外，其他數學函數能降低無常損失嗎？

原文標題：《AMM 的一般理論》，作者：鄒傳偉，萬向區塊鏈首席經濟學家。

以 Uniswap 為代表的恆定乘積 AMM 在加密資產市場取得了巨大成功，但也受無常損失之累。一些項目試圖在 Uniswap 的基礎上進行改進，比如引入預言機報價來降低無常損失，但尚未有公認的成功改進方案。

要更好地理解這些問題，需要回到 AMM 的一般理論：1. 除了恆定乘積公式以外，還能採取其他數學函數嗎，這些數學函數應該滿足哪些要求？2. 在其他數學函數下，也會有無常損失嗎？3. 什麼樣的數學函數是最佳的？4. AMM 與加密資產市場的其他交易方式的核心區別是什麼？

本文試圖回答這些問題，共分三部分：第一部分討論 AMM 的一般形式，第二部分討論 AMM 的若干特殊形式，第三部分比較 AMM 與加密資產市場的其他交易方式。

AMM 的一般形式

為分析的簡單，本文只研究針對兩種加密資產的 AMM，但相關研究很容易拓展到三種或三種以上加密資產的情形。

考慮兩種加密資產，分別稱為 X 和 Y ，並以加密資產 X 為記帳單位，也就是所有價格、市值的單位均為加密資產 X 。AMM 的狀態體現為流動性池中兩種加密資產的數量，假設在某一時刻為 (x,y)。在 AMM 的一般形式下，不管兩種加密資產之間如何交易（不考慮交易手續費的影響，下同），流動性池始終滿足

在流動性池狀態為 (x,y) 時，流動性池中兩種加密資產的市值之間的關係為

(1) 和 (7) 從不同角度刻畫了 AMM，它們之間是相互等價的。換言之，通過限定流動性池中兩種加密資產的市值之間的函數關係，也能定義 AMM。

(8) 儘管是一個簡單分析，但對理解加密資產市值有豐富含義。第一，即使在加密資產數量不變的情況下，它們之間的交易會改變它們之間的價格關係，從而使加密資產總市值發生變化。

總的來說，這一部分對 AMM 的一般形式的分析主要得到如下結論：

AMM 的若干特殊形式

根據第一部分的討論，任何單調遞減凸函數均可以用來定義 AMM。

為方便與 Uniswap 的比較，接下來使用一個等價表述

(16) 說明，在其他條件一樣的情況下，α 越大，無常損失的數值越小。這一點也通過對 (15) 的數值計算驗證（表 1）：

表 1：α對無常損失的影響

如果讓 α取值為 1/2，就得到 Uniswap 的恆定乘積公式，因此 Uniswap 屬於一類廣義 AMM 的特例。因為沒有任何一對加密資產在基本面上（比如市值、流動性和用戶數等）完全一樣，所以α=1/2 沒有邏輯上的必然性。如果要降低無常損失，可以適當調高α 。比如，如果加密資產 X 是穩定幣，加密資產 Y 是以太幣，α 完全可以大於 1/2，一個選項是α=2/3 。在一般情況下， α可以通過 AMM 社區自治決定。

AMM 與其他交易方式的比較

(2) 可以等價表述為

引入如下函數

總的來說，AMM 的核心機制是：流動性提供者基於算法承諾，為投資者提供關於交易價格和數量的確定性。這種確定性的代價是流動性提供者鎖定流動性並承擔無常損失。

為更好理解這一點，需要將 AMM 與拍賣機制相比較。在加密資產市場的各種交易機制中，只要存在訂單薄，不管有沒有做市商，其核心都是拍賣機制。接下來以 Algorand 採取的荷蘭式拍賣為例說明。儘管這個例子是出售資產，前文對 AMM 的分析是從購買資產的角度進行，但不同視角不影響分析邏輯。

荷蘭式拍賣也被稱為「減價式拍賣」：賣方由高往低喊價，直到有人願意購買，此價即為成交價。在策略上可以證明，荷蘭式拍賣等價於第一價格封閉式拍賣。在第一價格封閉式拍賣中，所有競拍者同時提交「暗標」（sealed bids），從而沒有競拍者知道其他競拍者的出價。出價最高的競拍者獲得標的，並支付他的出價。

Algorand 的荷蘭式拍賣與美國國債一級市場拍賣類似。美國國債一級市場採用荷蘭式拍賣有相當長歷史。從 1929 年-1992 年，美國財政部使用「多重價格」荷蘭式拍賣。第一步：一級交易商提交自己能接受的到期收益率及在該到期收益率上願意購買的數量。第二步：所有競標將按到期收益率從低到高排列（對應著債券購買價格從高到低排列），直到意願購買數量等於債券的供給數量，臨界到期收益率即為清算價（clearing price）。第三步：所有提交的到期收益率低於清算價的一級交易商按自己願意購買的數量獲得債券，購買價格根據各自的到期收益率計算。臨界到期收益率上的一級交易商按各自願意購買的數量分配剩餘額度。因此，在競標中勝出的一级交易商購買債券的價格是不一樣的。

1992 年至今，美國財政部改用「單一價格」荷蘭式拍賣。「單一價格」荷蘭式的拍賣的前兩步與「多重價格」荷蘭式拍賣一樣。在第三步，仍是所有提交的到期收益率低於清算價的一級交易商按自己願意購買的數量獲得債券，但購買價格根據清算價計算。「單一價格」荷蘭式拍賣中引入了兩類競標：第一種是競爭性的，即競標者要同時說明自己能接受的到期收益率及在該到期收益率上願意購買的數量；第二種是非競爭性的，即競標者只需說明自己願意購買的數量。在存在兩類競標的情況下，清算價的確定方法同上。但在債券額度分配上引入優先順序：先滿足非競爭性競標，再將剩餘額度分配給競爭性競標，按提交的到期收益率從低到高分配。

Algorand 的荷蘭式拍賣相當於「單一價格」+競爭性競標。第一步：確定 Algo 拍賣數量以及起始競拍價格；第二步：競拍價格按時間線性遞減（圖 1），在每個競拍價格上記錄競拍者願意購買的數量，直到累計的願意購買數量等於拍賣數量，臨界價格即為清算價（圖 2）；第三步：競拍價格高於清算價的競拍者勝出，按競拍價格從高到低分配 Algo 額度，價格統一為清算價。

圖 1：Algo 競拍價隨時間線性遞減

圖 2：Aglo 清算價的確定

從荷蘭式拍賣實踐不難看出，交易價格和數量由市場決定，在事前看是高度不確定性的，而 AMM 能提供這方面的確定性。對 AMM 與場內集中撮合、場外詢價成交等交易機制的區別，也可以按類似邏輯理解。