AMM의 일반 이론: 일정한 곱 이외의 다른 수학 함수가 비영구 손실을 줄일 수 있을까?

원문 제목: 《AMM의 일반 이론》, 저자: 저전웨이, 완향 블록체인 수석 경제학자.

Uniswap을 대표로 하는 고정 곱 AMM은 암호 자산 시장에서 큰 성공을 거두었지만, 비정상 손실의 고통을 겪고 있습니다. 일부 프로젝트는 Uniswap을 기반으로 개선을 시도했으며, 예를 들어 비정상 손실을 줄이기 위해 오라클 가격을 도입했지만, 아직 공인된 성공적인 개선 방안은 없습니다.

이러한 문제를 더 잘 이해하기 위해 AMM의 일반 이론으로 돌아가야 합니다: 1. 고정 곱 공식 외에 다른 수학 함수를 사용할 수 있는가? 이러한 수학 함수는 어떤 요구를 충족해야 하는가? 2. 다른 수학 함수 하에서도 비정상 손실이 발생하는가? 3. 어떤 수학 함수가 최적인가? 4. AMM과 암호 자산 시장의 다른 거래 방식의 핵심 차이점은 무엇인가?

이 글은 이러한 질문에 답하고자 하며, 세 부분으로 나누어져 있습니다: 첫 번째 부분은 AMM의 일반 형태를 논의하고, 두 번째 부분은 AMM의 몇 가지 특별한 형태를 논의하며, 세 번째 부분은 AMM과 암호 자산 시장의 다른 거래 방식을 비교합니다.

AMM의 일반 형태

분석의 간단함을 위해, 이 글에서는 두 가지 암호 자산에 대한 AMM만을 연구하지만, 관련 연구는 쉽게 세 가지 이상의 암호 자산 상황으로 확장될 수 있습니다.

두 가지 암호 자산을 고려하겠습니다. 각각 X와 Y라고 부르며, 암호 자산 X를 회계 단위로 사용합니다. 즉, 모든 가격과 시가 총액의 단위는 암호 자산 X입니다. AMM의 상태는 유동성 풀에 있는 두 가지 암호 자산의 수량으로 나타나며, 특정 시점에서 (x,y)라고 가정합니다. AMM의 일반 형태 하에서, 두 가지 암호 자산 간의 거래 방식에 관계없이 (거래 수수료의 영향을 고려하지 않음), 유동성 풀은 항상 다음을 만족합니다.

유동성 풀 상태가 (x,y)일 때, 유동성 풀에 있는 두 가지 암호 자산의 시가 총액 간의 관계는 다음과 같습니다.

(1)과 (7)은 서로 다른 각도에서 AMM을 묘사하며, 이들은 서로 동등합니다. 다시 말해, 유동성 풀에 있는 두 가지 암호 자산의 시가 총액 간의 함수 관계를 제한함으로써 AMM을 정의할 수 있습니다.

(8)은 간단한 분석이지만, 암호 자산 시가 총액을 이해하는 데 풍부한 의미를 갖습니다. 첫째, 암호 자산의 수량이 변하지 않더라도, 이들 간의 거래는 이들 간의 가격 관계를 변화시켜 암호 자산의 총 시가 총액을 변화시킵니다.

전반적으로 이 부분에서 AMM의 일반 형태에 대한 분석은 다음과 같은 결론을 도출합니다:

AMM의 몇 가지 특별 형태

첫 번째 부분의 논의에 따르면, 모든 단조 감소 볼록 함수는 AMM을 정의하는 데 사용할 수 있습니다.

Uniswap과의 비교를 용이하게 하기 위해, 다음에 등가 표현을 사용합니다.

(16)은 다른 조건이 동일할 경우, α가 클수록 비정상 손실의 수치가 작아진다는 것을 보여줍니다. 이 점은 (15)의 수치 계산을 통해 검증되었습니다(표 1):

표 1: α가 비정상 손실에 미치는 영향

α의 값을 1/2로 설정하면 Uniswap의 고정 곱 공식을 얻게 되므로 Uniswap은 광의 AMM의 특수한 경우에 해당합니다. 기본적으로 (예: 시가 총액, 유동성 및 사용자 수 등) 완전히 동일한 암호 자산 쌍은 없으므로, α=1/2는 논리적으로 필연적이지 않습니다. 비정상 손실을 줄이려면 α를 적절히 높일 수 있습니다. 예를 들어, 암호 자산 X가 스테이블코인이고 암호 자산 Y가 이더리움인 경우, α는 1/2보다 클 수 있으며, 하나의 옵션은 α=2/3입니다. 일반적으로 α는 AMM 커뮤니티의 자율 결정에 의해 결정될 수 있습니다.

AMM과 다른 거래 방식의 비교

(2)는 다음과 같이 등가적으로 표현될 수 있습니다.

다음 함수를 도입합니다.

전반적으로 AMM의 핵심 메커니즘은 유동성 제공자가 알고리즘에 기반하여 투자자에게 거래 가격과 수량에 대한 확실성을 제공하는 것입니다. 이러한 확실성의 대가는 유동성 제공자가 유동성을 잠그고 비정상 손실을 감수하는 것입니다.

이 점을 더 잘 이해하기 위해 AMM을 경매 메커니즘과 비교해야 합니다. 암호 자산 시장의 다양한 거래 메커니즘에서 주문서가 존재하는 한, 시장 조성자가 있든 없든 그 핵심은 경매 메커니즘입니다. 다음으로 Algorand가 채택한 네덜란드식 경매를 예로 들어 설명하겠습니다. 이 예는 자산 판매에 관한 것이지만, 앞서 AMM에 대한 분석은 자산 구매의 관점에서 진행되었으므로, 다른 관점이 분석 논리에 영향을 미치지 않습니다.

네덜란드식 경매는 "가격 인하 경매"라고도 불립니다: 판매자가 높은 가격에서 낮은 가격으로 부르며, 누군가 구매를 원할 때 그 가격이成交价입니다. 전략적으로 증명할 수 있는 것은 네덜란드식 경매가 첫 번째 가격 폐쇄식 경매와 동등하다는 것입니다. 첫 번째 가격 폐쇄식 경매에서는 모든 입찰자가 동시에 "밀봉 입찰"(sealed bids)을 제출하므로, 어떤 입찰자도 다른 입찰자의 입찰가를 알 수 없습니다. 가장 높은 입찰가를 제시한 입찰자가 대상을 획득하고 자신의 입찰가를 지불합니다.

Algorand의 네덜란드식 경매는 미국 국채 1차 시장 경매와 유사합니다. 미국 국채 1차 시장은 네덜란드식 경매를 오랫동안 사용해왔습니다. 1929년부터 1992년까지 미국 재무부는 "다중 가격" 네덜란드식 경매를 사용했습니다. 첫 번째 단계: 1차 거래자가 자신이 수용할 수 있는 만기 수익률과 해당 만기 수익률에서 구매할 의사가 있는 수량을 제출합니다. 두 번째 단계: 모든 입찰은 만기 수익률에 따라 낮은 가격에서 높은 가격으로 정렬됩니다(채권 구매 가격은 높은 가격에서 낮은 가격으로 정렬됨)까지, 구매 의사가 있는 수량이 채권의 공급 수량과 같아질 때까지, 임계 만기 수익률이 청산 가격이 됩니다. 세 번째 단계: 청산 가격보다 낮은 만기 수익률을 제출한 모든 1차 거래자는 자신이 구매하고자 하는 수량에 따라 채권을 획득하며, 구매 가격은 각자의 만기 수익률에 따라 계산됩니다. 임계 만기 수익률의 1차 거래자는 각자의 구매 의사에 따라 잔여 수량을 분배받습니다. 따라서 입찰에서 승리한 1차 거래자가 채권을 구매하는 가격은 서로 다릅니다.

1992년 이후, 미국 재무부는 "단일 가격" 네덜란드식 경매로 변경했습니다. "단일 가격" 네덜란드식 경매의 첫 두 단계는 "다중 가격" 네덜란드식 경매와 동일합니다. 세 번째 단계에서는 여전히 청산 가격보다 낮은 만기 수익률을 제출한 모든 1차 거래자가 자신이 구매하고자 하는 수량에 따라 채권을 획득하지만, 구매 가격은 청산 가격에 따라 계산됩니다. "단일 가격" 네덜란드식 경매에서는 두 가지 유형의 입찰이 도입되었습니다: 첫 번째는 경쟁적인 것으로, 입찰자는 동시에 자신이 수용할 수 있는 만기 수익률과 해당 만기 수익률에서 구매할 의사가 있는 수량을 명시해야 합니다; 두 번째는 비경쟁적인 것으로, 입찰자는 자신이 구매하고자 하는 수량만 명시하면 됩니다. 두 가지 유형의 입찰이 존재하는 경우, 청산 가격의 결정 방법은 동일합니다. 그러나 채권 수량 분배에서 우선 순위를 도입하여 비경쟁적 입찰을 먼저 충족하고, 잔여 수량을 경쟁적 입찰에 분배하며, 제출된 만기 수익률에 따라 낮은 가격에서 높은 가격으로 분배합니다.

Algorand의 네덜란드식 경매는 "단일 가격" + 경쟁적 입찰에 해당합니다. 첫 번째 단계: Algo 경매 수량과 시작 입찰 가격을 결정합니다; 두 번째 단계: 입찰 가격이 시간에 따라 선형적으로 감소합니다(그림 1), 각 입찰 가격에서 입찰자가 구매하고자 하는 수량을 기록하며, 누적 구매 의사 수량이 경매 수량과 같아질 때까지, 임계 가격이 청산 가격이 됩니다(그림 2); 세 번째 단계: 청산 가격보다 높은 입찰자의 승리, 입찰 가격에 따라 Algo 수량을 높은 가격에서 낮은 가격으로 분배하며, 가격은 청산 가격으로 통일됩니다.

그림 1: Algo 입찰 가격이 시간에 따라 선형적으로 감소

그림 2: Aglo 청산 가격의 결정

네덜란드식 경매의 실제에서 볼 수 있듯이, 거래 가격과 수량은 시장에 의해 결정되며, 사전에 보았을 때는 높은 불확실성을 가지지만, AMM은 이 측면에서 확실성을 제공합니다. AMM과 장내 집중 매칭, 장외 문의 거래 등 거래 메커니즘의 차이도 유사한 논리로 이해할 수 있습니다.