AMMの一般理論：恒常積以外の他の数学関数は、無常損失を軽減できるか？

原文タイトル：《AMM の一般理論》，著者：邹伝偉，万向ブロックチェーンチーフエコノミスト。

Uniswapを代表とする恒常積AMMは暗号資産市場で巨大な成功を収めましたが、無常損失に悩まされています。一部のプロジェクトは、無常損失を軽減するためにオラクルの価格を導入するなど、Uniswapを基に改善を試みていますが、認められた成功した改善策はまだありません。

これらの問題をよりよく理解するためには、AMMの一般理論に戻る必要があります：1. 恒常積公式以外に他の数学関数を採用することはできるか、それらの数学関数はどのような要件を満たすべきか？2. 他の数学関数の下でも無常損失は発生するのか？3. どのような数学関数が最適か？4. AMMと暗号資産市場の他の取引方法の核心的な違いは何か？

本稿はこれらの問題に答えようとし、三部構成になっています：第一部ではAMMの一般的な形式について議論し、第二部ではAMMのいくつかの特殊形式について議論し、第三部ではAMMと暗号資産市場の他の取引方法を比較します。

AMM の一般形式

分析を簡単にするために、本稿では二種類の暗号資産に対するAMMのみを研究しますが、関連研究は三種類以上の暗号資産の状況にも容易に拡張できます。

二種類の暗号資産を考え、それぞれXとYと呼び、暗号資産Xを記帳単位とします。つまり、すべての価格や時価総額の単位は暗号資産Xになります。AMMの状態は流動性プール内の二種類の暗号資産の数量として表され、ある時点で(x,y)と仮定します。AMMの一般形式の下では、二種類の暗号資産間の取引がどのように行われても（取引手数料の影響は考慮しない）、流動性プールは常に次の条件を満たします。

流動性プールの状態が(x,y)であるとき、流動性プール内の二種類の暗号資産の時価総額間の関係は次のようになります。

(1)と(7)は異なる視点からAMMを描写しており、相互に等価です。言い換えれば、流動性プール内の二種類の暗号資産の時価総額間の関数関係を限定することによってもAMMを定義できます。

(8)は単純な分析ですが、暗号資産の時価総額を理解する上で豊かな意味を持ちます。第一に、暗号資産の数量が変わらない場合でも、それらの間の取引が価格関係を変え、暗号資産の総時価総額が変化することです。

全体として、この部分のAMMの一般形式の分析から得られた主な結論は次の通りです。

AMM の若干特殊形式

第一部の議論に基づき、任意の単調減少凸関数はAMMを定義するために使用できます。

Uniswapとの比較を容易にするため、次に等価な表現を使用します。

(16)は、他の条件が同じ場合、αが大きいほど無常損失の数値が小さくなることを示しています。この点は(15)の数値計算によっても確認されます（表1）：

表1：αが無常損失に与える影響

もしαの値を1/2にすると、Uniswapの恒常積公式が得られます。したがって、Uniswapは広義のAMMの特例に属します。基本的に（例えば時価総額、流動性、ユーザー数など）完全に同じ暗号資産のペアは存在しないため、α=1/2には論理的必然性はありません。無常損失を軽減するためには、αを適切に引き上げることができます。例えば、暗号資産Xがステーブルコインで、暗号資産Yがイーサリアムであれば、αは1/2を超えることができます。一つの選択肢はα=2/3です。一般的に、αはAMMコミュニティの自治によって決定できます。

AMM と他の取引方法の比較

(2)は次のように等価に表現できます。

次の関数を導入します。

全体として、AMMの核心的なメカニズムは、流動性提供者がアルゴリズムに基づいて約束し、投資家に取引価格と数量の確実性を提供することです。この確実性の代償は、流動性提供者が流動性をロックし、無常損失を負担することです。

この点をよりよく理解するためには、AMMとオークションメカニズムを比較する必要があります。暗号資産市場のさまざまな取引メカニズムの中で、注文簿が存在する限り、マーケットメイカーがいるかどうかに関わらず、その核心はオークションメカニズムです。次に、Algorandが採用しているオランダ式オークションを例に説明します。この例は資産の販売に関するものですが、前述のAMMの分析は資産の購入の観点から行われていますが、異なる視点は分析の論理に影響を与えません。

オランダ式オークションは「減価式オークション」とも呼ばれます：売り手は高い価格から低い価格へと叫び、誰かが購入する意思を示すまで続き、その価格が成立価格となります。戦略的に証明できることは、オランダ式オークションは第一価格封閉オークションと等価であるということです。第一価格封閉オークションでは、すべての入札者が同時に「密封入札」を提出し、他の入札者の入札額を知ることはありません。最高入札者が対象を獲得し、彼の入札額を支払います。

Algorandのオランダ式オークションは、米国債の一次市場オークションに似ています。米国債の一次市場はオランダ式オークションを長い歴史の中で採用しています。1929年から1992年まで、米国財務省は「多重価格」オランダ式オークションを使用していました。第一ステップ：一次取引業者は自分が受け入れられる満期利回りと、その満期利回りで購入したい数量を提出します。第二ステップ：すべての入札は満期利回りに従って低いものから高いものへと並べられ（債券購入価格は高いものから低いものへと並べられます）、購入意欲のある数量が債券の供給数量に等しくなるまで続き、臨界満期利回りが清算価格となります。第三ステップ：清算価格未満の満期利回りを提出した一次取引業者は、自分が購入したい数量に応じて債券を獲得し、購入価格はそれぞれの満期利回りに基づいて計算されます。臨界満期利回りの一次取引業者は、それぞれの購入したい数量に応じて残りの配分を受けます。したがって、入札で勝った一次取引業者が債券を購入する価格は異なります。

1992年以降、米国財務省は「単一価格」オランダ式オークションに変更しました。「単一価格」オランダ式オークションの最初の二つのステップは「多重価格」オランダ式オークションと同じです。第三ステップでは、清算価格未満の満期利回りを提出した一次取引業者が自分が購入したい数量に応じて債券を獲得しますが、購入価格は清算価格に基づいて計算されます。「単一価格」オランダ式オークションでは、二種類の入札が導入されます：第一種は競争的なもので、入札者は同時に自分が受け入れられる満期利回りとその満期利回りで購入したい数量を示す必要があります；第二種は非競争的なもので、入札者は自分が購入したい数量を示すだけで済みます。二種類の入札が存在する場合、清算価格の決定方法は同様ですが、債券の配分に優先順位が導入されます：まず非競争的入札を満たし、残りの配分を競争的入札に対して、提出された満期利回りの低いものから高いものへと配分します。

Algorandのオランダ式オークションは「単一価格」+競争的入札に相当します。第一ステップ：Algoのオークション数量と開始入札価格を決定します；第二ステップ：入札価格は時間に沿って線形に減少し（図1）、各入札価格で入札者が購入したい数量を記録し、累積の購入意欲の数量がオークション数量に等しくなるまで続き、臨界価格が清算価格となります（図2）；第三ステップ：清算価格を超える入札者が勝ち、入札価格の高いものから低いものへとAlgoの配分が行われ、価格は清算価格に統一されます。

図1：Algo入札価格の時間に伴う線形減少

図2：Aglo清算価格の決定

オランダ式オークションの実践から明らかなように、取引価格と数量は市場によって決定され、事前には高度な不確実性がありますが、AMMはこの点での確実性を提供できます。AMMと場内集中マッチング、場外問い合わせ取引などの取引メカニズムの違いも、同様の論理で理解できます。